Calculando distâncias e direções utilizando Coordenadas Geográficas

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CARLOS EDUARDO FALCONI

INTRODUÇÃO

Antes de iniciar este estudo, é preciso relembrar os conceitos de DLA (diferença de latitude) e DLO (diferença de longitude).

A primeira – DLA – é a diferença angular entre duas latitudes, podendo ser de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre 90ºN e 90ºS.

A segunda – DLO – é a menor diferença angular entre duas longitudes, podendo ser, também, de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre a longitude de um meridiano qualquer e seu anti-meridiano (oposto a ele em 180º).

Para se calcular a distância entre duas localidades apenas sabendo-se as coordenadas, precisaremos também lembrar como converter estes valores de DLA e DLO em distância.

Para se calcular a direção entre duas localidades será necessário relembrar conceitos de trigonometria, como veremos mais à frente.

TRANSFORMANDO UM VALOR DE DLA OU DLO EM DISTÂNCIA

Para transformar um valor angular em distância, basta relembrar suas equivalências.

Como se sabe, 1º = 60 NM, assim pode-se concluir que 60′ = 60 NM 1′ = 1 NM.

Ocorre que 1′ = 60″, assim pode-se concluir que 60″ = 1 NM, ou seja, 1″ = 1/60 NM.

Sabendo-se estas equivalências, fica fácil transformar qualquer valor de DLA ou DLO em distâncias. Observe o exemplo a seguir.

Vamos converter o valor 23º 30’ 36” em distância. Basta isolar cada valor e converter individualmente, somando os resultados.

23º  X 60 = 1.380

30’ X 1 = 30

36” ÷ 60 = 0,6

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

1.380 + 30 + 0,6  = 1.410,6 NM x 1,852 = 2.612,4 Km

Obviamente, este método vale para distâncias pequenas (menores do que 800 NM), pois o correto seria levar em conta a curvatura terrestre; no entanto, o método funciona muito bem, como veremos adiante.

CALCULANDO A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS

Pode ocorrer de, em determinado momento, o piloto ter as coordenadas entre dois pontos, mas não ter em mãos a carta ou algum equipamento para calcular a distância entre elas. Quando isto acontecer, basta utilizar o que já se conhece sobre coordenadas geográficas. Já foi visto que uma coordenada geográfica utiliza o sistema cartesiano para indicar localidades. Fazendo uma análise simples, qualquer coordenada pode ser representada em um sistema de eixos do tipo “x” e “y”.

Vamos pegar como exemplo as coordenadas geográficas das duas cabeceiras da pista de SBMT (Aeroporto Campo de Marte, São Paulo):

SBMT: PISTA 12 (23º 30’ 29,93” S/046º 38’ 32,90” W)

­SBMT: PISTA 30 (23º 30’ 36,50” S/046º 37’ 53,01” W)

mapa com coordenadas sbmt

Vamos agora calcular o comprimento da pista, utilizando as duas coordenadas.

Basta uma pequena análise para se perceber que o comprimento da pista é definido por uma linha que liga os dois pontos e que esta linha nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo definido pelas diferenças de latitude (DLA) e de longitude (DLO), que são os catetos entre estes pontos. Veja o esquema abaixo:

hipotenusa

Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Podemos considerar que um dos catetos é a DLA e o outro a DLO, sendo a hipotenusa o comprimento da pista (ou a distância entre os dois pontos). Assim, valerá sempre a fórmula:

COMPRIMENTO 2 = DLA 2 + DLO 2

Vamos, então, calcular as DLA e DLO:

DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57”

DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89”

Sabendo o valor das DLA e DLO, basta transformá-las em distância, dividindo-as por 60:

DLA = 6,57” ÷ 60 = 0,1095 NM x 1.852 = 202,8 metros

DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 = 1.231,2 metros

Colocando-se os valores na fórmula:

COMPRIMENTO 2 = 202,8 2 + 1.231,2 2 = raiz (41.127,84 + 1.515.853,44)

COMPRIMENTO = 1.247,8 metros

Para provar que o cálculo está correto, vamos utilizar a ferramenta régua do Google Earth:

regua google sbmt

CALCULANDO A DIREÇÃO ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS

Até o momento, utilizou-se apenas uma calculadora simples para os cálculos, necessitando-se somente do valor de uma raiz quadrada.

Veremos agora que, apesar de um pouco complexo, há a possibilidade de se efetuar o cálculo da direção entre dois pontos geográficos. Para isso, será necessário rever conceitos de básicos de trigonometria e da teoria dos triângulos.

Como o triângulo que vamos estudar é um triângulo retângulo, teremos o seguinte desenho:

distancia sbmt grafico

Pela teoria dos triângulos, a soma interna de todos os ângulos é sempre igual a 180º. Assim,

α + β + 90º = 180º

Basta, portanto, achar α para achar β ou vice-versa:

α  = 90º – β

β = 90º – α

Para calcular o valor dos ângulos, é necessário lembrar-se dos conceitos de trigonometria.

O valor de um ângulo em um triângulo retângulo pode ser assim calculado:

  • Tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre o adjacente
  • Seno de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa
  • Cosseno de um ângulo é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa

Sabendo-se disso, tomando-se por base o ângulo α , podemos deduzir que:

tan α  = DLA ÷ DLO

sen α  = DLA ÷ distância

cos α  = DLO ÷ distância

Uma vez que os valores de DLA e DLO são mais facilmente encontrados, vamos, então, aplicar estes valores utilizando a fórmula da tangente de α :

tang α  = 202,8 ÷ 1.231,3 = 0,1647

Sabendo-se o valor da tangente, basta calcular a tangente inversa, ou seja, o arco-tangente deste ângulo. O resultado desta operação, que deverá ser feita utilizando-se uma calculadora com esta função ou o Excel – como veremos a seguir – pode ser assim representado:

arctan α  = tan-1 α

Esta operação dá o valor em radianos, os quais devem ser convertidos em graus.

Uma calculadora mais avançada faz este cálculo rapidamente, bastando clicar na função “inverso” e depois na função “graus/radianos”.

No Excel basta colocar a seguinte fórmula:

=graus(atan(tanα))

=graus(atan(DLA/DLO))

Aplicando esta fórmula no Excel, temos:

α = graus(atan(0,1647)), o resultado será 9,352651º, ou seja, arredondando-se para números inteiros, será 9º.

Se α = 9º, β = 90º – α β = 90º – 9º = 81º, ou seja:

α = 9º

β = 81º

É importante ressaltar que estes valores são da parte interna do triângulo, que ficará assim:

triangulo sbmt distancia

Portanto, os valores dos Rumos Verdadeiros (RV) das pistas 12 e 30 serão, respectivamente:

RV PISTA 12 = 180º – 81º = 99º

RV PISTA 30 = 270º + 9º = 279º

Como a declinação magnética do SBMT é 21ºW, os Rumos Magnéticos serão, respectivamente:

RM PISTA 12 = 99º + 21º = 120º

RM PISTA 30 = 279º + 21º = 300º

Isto prova que os cálculos estão corretos, pois senão as pistas não seriam 12 e 30.



54 COMENTÁRIOS

  1. Srs.

    Gostaria de saber se existe um sistema que referencia ao endereço dado do logradouro, uma coordenada geográfica se possível em DLL.

    Sem ser o Google earth é claro, já procurei no site do IBGE e nada.

    Att

  2. esse aula foi show, vc coloca os problemas como devem ser resolvidos, não aqueles amontoados de X,Y,Z,K, que na maioria das veses so atrapalham, não que estejam errados, mas se facilitar como vc faz, é muito mais simples, um abraço.

  3. Eduardo,

    Gostaria de saber se existe uma formula para calcular a declinação magnética a partir de variaveis atuais, em um ponto de coordenada informado.

    Conhece?

    Grato

  4. Professor Falconi, os rumos verdadeiros não seriam definidos adequadamente de azimutes verdadeiros? E os rumos calculados 81° SE e 9° NW? Muito obrigado.

  5. Tentei fazer os cálculos de distância com as duas cabeceiras do Galeão. Está dando um erro muito grande. A pista tem 4.000 metros a conta da quase 4300m. A diferença é muito grande.
    THR 10: 22 48 06.78S // 43 15 18.80W
    THR 28: 22 47 31.82S // 43 13 03.56W

    DLA: 34.96” __ 0,5826nm __ 1,0789Km (Km2)= 1,0640 RAIZ: 4,2999Km
    DLO: 2′ 15.24” 2,254nm 4,1744Km (Km2)= 17,4256

  6. Tansformar Azimute em coordenadas? Mas foi feito.
    Deve estar confuso por conta dos espaços..
    THR 10: 22 48 06.78S // 43 15 18.80W
    THR 28: 22 47 31.82S // 43 13 03.56W

    DLA: 34.96”
    DLO: 2′ 15.24”

    Transformando em NM
    0,5826nm
    2,254nm

    Transformando em KM
    1,0789Km
    4,1744Km

    Elevando ao Quadrado
    1,0640
    17,4256

    RAIZ: 4,2999Km
    Fiz várias vezes, não consegui perceber onde estou errando.

  7. Sr.Carlos Eduardo Falconi, desculpe-me pela minha ignorância, mas não consegui fazer indo do ponto B para A, qual seria a distância? a mesma de A para B?, e o rumo seria outro?
    Ou seja, a distância do ponto A para B, será a mesma da volta de B para A?
    e o rumo de A para B, será o mesmo da volta de B para A?
    Muitíssimo obrigado
    Parabéns por sua explicação.

  8. Bom Dia Srs.
    A duvida que tive quando li a matéria é a seguinte, as coordenadas obtidas pelo Google estão referenciadas no elipsóide WGS 84, e os cálculos usados para obter ângulos e distancias entre pontos situados na superfície tratam estes pontos como se estivessem num plano.
    Entendo que para pontos próximos, entre as cabeceira de uma pista por exemplo, as diferenças entre o cálculos considerando coordenadas planas as coordenadas do elipsóide não são significativas, porem entre 2 cidades com uma distancia maior estas diferenças devem ser consideradas.
    Ao meu ver deve-se transformar as coordenadas do elipsóide WGS 84 para coordenadas planas, UTM, ai sim a trigonometria pode ser aplicada sem maiores problemas.
    Sou apenas um entusiasta da aviação, atualmente fazendo uma planilha para vôos visuais, onde coloco as coordenadas das cidades próximas a minha rota e a planilha monta meu plano de vôo, informando a tempo e a distancia entre os fixos.
    Gostaria de sabe se meu raciocínio esta correto, obrigado

  9. Boa tarde.
    Tenho uma pequena dúvida referente ao calculo do DLA e DLO

    DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57”

    DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89”

    qual o tipo exato de conversão que deve ser feito para ter o resultado 6,57 e 39,89, pois efetuei vários, inclusive aquele citado mais acima e os resultados não batem.
    ahh, o 36,50 seria os segundos,né?

    Se puderem me esclarecer melhor, agradeço.

    Obrigado.

  10. PROFESSOR FALCONI:
    SÃO MUITO CLARAS AS SUAS EXPLICAÇÕES, E EU AS ENTEDI FÁCILMENTE, COM RESALVA A DOIS PONTOS, GOSTARIA DE SABER SE O FATOR 1.852, USADO NOS CALCULOS ACIMA, É O RADIANO EM MINUTOS DA DIFERENÇA DA DLA E DA DLO, POIS CONFORME MOSTRA O EXEMPLO INICIAL, O SENHOR AO MULTIPLICAR 23 GRAUS POR 60 ESTA TRANSFORMANDO EM MINUTOS, 30 MINUTOS SÃO MULTIPLICADOS POR 1, E OS SEGUNDOS NO CASO 36 SÃO DIVIDIDOS POR 60 E AI TEMOS A FRAÇÃO DE MINUTOS CORRESPONDENTE AOS 36 SEGUNDOS.
    PARABÉNS PELOS ESCLARECIMENTOS E O MEU RESPEITOSO ABRAÇO.
    MOCOCA SP. 24/12/2011.
    ANTÔNIO JOSÉ MILANI.

  11. Senhores, bom dia a todos, gostaria de saber o seguinte, tenho uma calculadora hp50g e gostaria de saber se algum de vocês faz uso da mesma? Pois gostaria de fazer esses calculo com minha hp.

    Desde ja obrigado

  12. Olá gostaria de esclarecer uma dúvida respeito de uma longitude média
    Qual o longitude média entre os pontos A(171°15’15”E) e B (129°15’15”W)?

    A) 029°35’35”E
    B) 159°00’00”E
    C) 058°30’30”W
    D) 021°00’00”E

  13. Muito boa sua explicação,

    Mas meu problema é outro. Espero que possa me ajuda!

    Preciso de um banco de dados, tenho os pontos x e y em coord.UTM, porem preciso que todo banco de dados va 18graus leste. Voce tem ideia de como posso fazer isso?

    Grata,

  14. Sou arraes-amador e pretendo iniciar o curso de mestre-amador. Como os conhecimentos de navegação aplica-se tanto na atividade áerea com na marítima, gostaria de saber se este fórum ainda está ativo. Se positivo, como posso participar ?

  15. Professor obrigado.. fiz um projeto em android para uma transportadora onde eu era obrigado a calcular a distancia do caminhão para a empresa, com a finalidade de permitir ou não a sincronização dos dados do sistema de reta guarda para o tablet..

  16. OLÁ FALCONI,

    PRÁ FICAR (100%) NO RESULTADO DOS SEUS CALCULOS, DEVE ACRESCENTAR A CONVERGENCIA MERIDIANA NO AZIMUTE VERDADEIRO DO SEU CALCULO, TRANSFORMANDO O AZIMUTE VERDADEIRO, DO SEU EXEMPLO, PARA AZIMUTE PLANO TOPOGRÁFICO DE QUADRÍCULA. ESPERO TER CONTRIBUIDO MUITO COM APREDIZAGEM DESTE CÁLCULO PARA TODOS.

    CORDIALMENTE,

    KOJAK- Treinamentos Topoinformatizados Ltda.
    CEL: 9873-3442 / NEXTEL: 124*27445
    RIO DE JANEIRO – RJ

  17. Como eu faria se tive-se a coordenada X e Y, a partir da coordenada X quero ir para coordenada Y, pegando por padrão hipotenusa / 10…

    Valeu

  18. Como a variação da latitude é de +90° à -90° cada minuto de latitude não corresponderia a 2 milhas náuticas? (diferentemente de um minuto de longitude, que corresponde a 1 milha náutica).

  19. Há um problema nos cálculos. Ocorre que, no que se refere à latitude, realmente 1′ corresponde, em termos de distância, a 1 milha náutica (ou seja, o cálculo da DLA está correto). Entretanto, em termos de distância longitudinal, 1′ corresponde a 1 milha náutica apenas no equador. Exatamente nos polos geográficos, a distância referente a 1′ de variação de longitude é zero (afinal, todos os meridianos se encontram nos polos). Entre o equador e os polos geográficos, 1′ de variação de longitude apresentará uma distância entre 1 milha náutica e zero (no hemisfério sul, quanto mais ao sul, menor será esse valor). Esse aspecto não foi considerado no cálculo da DLO.

  20. Minha dúvida é a seguinte:
    Comecei a tirar o Brevet, e assim sendo começamos a mexer com navegação aérea, e quando abro o Google Earth, e visualizo uma pista (ex. Congonhas cabeceiras 17 e 35, se vc observar, verá que tem defasagem em +ou- 20 graus em relação ao Norte do Google Earth. Porquê???
    Peguei um transferidor, e coloco sobre a tela, e confirmo que a defasagem existe. Poderia me ajudar nesta dúvida??
    Obrigado

  21. O Marcos Pineschi tem razão quanto ao erro da distância na longitude. Mas eu encontrei a solução: É só pegar a latitude do ponto onde verificou a diferença de longitude, tirar o cosseno dessa latitude, nesse caso, cosseno de 23,5101 graus (conversão só para graus de 23°30’36.5″). Após tirar o cosseno desse angulo, vc multiplica por 1852. Pronto, esse é o novo valor que vc vai utilizar no lugar do 1852mts mostrados no exemplo do cálculo da distância da longitude somente. Em casos como esse de distância menor que 1 grau, pode pegar apenas o valor médio de latitude, nesse caso 23° e tirar o cosseno. Corrigindo a linha: do texto:

    DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 x cos(23,5101). = 1.129,0 metros.

    Nesse caso a diferença foi pequena pois a latitude é baixa e o cosseno dá quase 1.
    Abç

  22. Boa tarde!

    Referente ao Cálculo DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89”, refiz o cálculo e meu resultado deu 79,89 e não 39,89, gostaria se possível de saber o resultado correto. Obrigado

    Esdras

    • Esdras a coordenada geodésica que você se refere é em minutos, então, se você quiser diminuir ou somar graus, você tem que transformar-las. fica assim você pode transformar tudo em decimal de pois volta-las para graus ex: 046°38’32,90″ = 46 x 1 = 46 -> 38 / 60 =0,6333 e 32,9 / 3600 = 0,009138 soma tudo = 46,642468 e 46 x 1 = 46 -> 37 / 60 = 0,61666 e 53,01 / 3600 = 0,014725 soma tudo = 46,631385, portanto 46,642468 – 46,631385 = 0,011081 voltando pra graus 0,011081 * 3600 = 39,89 ou simplesmente 60 – 53,01 = 6,99 + 32,9 = 39,89. Abraços!

      • Amigo me desculpe mas você errou nas somas, por exemplo:
        46 + 0,6333 + 0,009138 é igual a: 46,642438 e não a: 46,642468 como voce disse,
        Outro erro seu: 46,642468 – 46,632385, é igual a: 0,011083 e não 0,011081 como voce disse
        Portanto 46,642438 – 46,632385 é igual a: 0,011053 * 3066 = 39,79 sei que diferença é pouca, mais está alguma coisa errada ai

  23. Só esqueceu que rumo varia de 0° a 90°. Então nenhuma das respostas esta correta. O correto é azimute (0°-360°), tanto o verdadeiro quanto o magnético!

  24. NÃO SEI NADA DESSES CALCULOS, MAS GOSTEI MUITO, QUERIA SABER A MEDIDA DE UMA PONTE SOBRE O MAR EM CUMURUXATIBA , COMO FAÇO PRA FAZER ESSE TIPO DE CALCULO. PELO GOOGLE MAPS ACHEI AS COORDENADAS, O PROBLEMA É O CALCULO PRA SABER A COMPRIMENTO DESSA PONTE.

  25. Sou contabilista e preciso colocar no formulario do IBAMA referente à São João de Meriti RJ o seguinte: Latitude Longitude minutos e segundos em relação à NORTE (latitude) e Longitude tambem minutos e segundos em relação à OESTE ,está assim:
    LATITUDE _________º________º_________” NORTE

    LONGITUDE________º________º__________” OESTE
    POR FAVOR, ME AJUDE. GRATO CARLOS A PEREIRA capcap50@hotmail.com 10/03/2015

  26. Desde 2011 há comentários dos erros. Tenho lido alguns trabalhos em blog sobre a conversão de medidas com o equívoco na equivalência.
    Deste modo, lembro a todos que 1 grau é igual a 1 milímetro do transferidor, mas, 1 grau não é igual a 1 minuto.
    Um grau equivale a 4 minutos ou 240 segundos, porque a cada 15 graus tem uma hora = 60′ – 3600″(seg)

  27. queria saber a latitude e longitude do nascimento do meu filho .. não sei fazer o calculo.. ele nasceu no dia 26/06/2011 as 09:11 da manha e conselheiro Lafaiete minas gerais. brasil se alguém souber fazer e quiser me enviar por e-mail ficarei muito grata e feliz. garcydosantos26@outlook.com

  28. oi, então…. estou com o seguinte exercicio em mãos
    04.Considerando que eram 6h do dia 12 04 em uma cida “x” localizada a 84 graus a oeste de greenwich, responda:
    a)Neste mesmo momento,que horas e qual dia eram em uma cidade “y” localizada no antimeridiano da cidade “x”

  29. Olá Professor, preciso da sua ajuda!!

    O texto é bem explicativo e quebra uma árvore, mais dúvida é como fazer o cálculo inverso. Tenho a distância, como converto para coordenadas por exemplo o ponto: 7.494,294 KmN;285,905 KM E.

    Obrigada e aguardo a ajuda..

  30. Olha, esse conteúdo me ajudou muito em uma atividade que estou fazendo, pois estou fazendo um sistema que trabalhará com coordenadas geográficas, como a distância é menor que 4 MN vou aplicar esse calculo com outros de trigonometria.
    Exemplifico o contexto, para pesquisas futuras de outros.
    Vou fazer um sistema que dado os pontos x e y, sendo x um par de coordenadas de origem, e y um par de coordenadas de destino, devo retornar uma lista de veículos que atendam determinado trajeto, baseando-se para isso, que o veículo passe por esses dois pontos.
    Como o usuário pode informar pontos relativamente diferentes dos pontos cadastrados, estava projetando um margem de erro de 3 km, esse também, para que o veículo que atenda um ponto próximo, possa se deslocar ate o ponto x ou y especificados, otimizando percursos já existentes.
    Contudo, trabalhar com círculos é muito complicado para meu conhecimento, e fazer a validação programaticamente, levando em consideração um raio de 3 km, teria que trabalhar com muitas funções matemáticas, aumentando a complexidade do algoritmo (para meu conhecimento, friso).
    Decidi então fazer a quadratura do circulo (que é envolver o circulo de R = 3 Km) para trabalhar com seus vértices, que são pontos conhecidos e fáceis de se trabalhar, geometricamente e programaticamente.
    Para meus cálculos então, através da hipotenusa de um quadrante do quadrado, obtive ~ 4,24 Km. Então meu raio de atuação agora passa a variante entre 3 Km, e 4,24 Km no máximo.
    Agora centralizando o ponto x especificado por um par de coordenadas, fazemos um traço paralelo e perpendicular ao ponto x, de forma que suas extremidades coincidam com a margem do circulo, 3 Km, e também do quadrado, nesse ponto, 3 Km, usaremos os pontos cardeais como referência.
    Tendo especificado o ponto x, e seu quadrante, vamos fazer agora a validação.
    Se eu fosse trabalhar com o mesmo raio de atuação, meus valores de graus se alteriam 1′ 37” 19. Para facilitar os cálculos e até mesmo aumentar um pouco meu raio de atuação, para agora 2MN = 3,704 Mt, teremos nossa hipotenusa valendo ~ 5.238 Mt e uma variação de 2″.
    Com base nesses novos valores, para fazer a validação programaticamente, vamos fechar nosso quadrante, composto dos vértices do quadrado, ABCD.
    Calcularemos apenas os pontos NLSO (Norte, Leste, Sul, Oeste), visto que em um paralelo (ao equadro), o valor é sempre o mesmo, isso é, os graus não se alteram, e o mesmo vale para os meridianos (perpendiculares ao equador), calcularemos se os veículos atendam os pontos para N e L, x + 2″, para leste y + 2″, para, e para S e O, x – 2″ e y – 2″, isso levando em consideração o quadrante 1 do globo.
    Para obtermos os pontos específicos ABCD, precisaremos calcular a interseção dos pontos respectivos aos vértices.
    O ponto A será a interseção NL, e assim por diante.
    Vou fazer um post futuro sobre isso em meu blog, que não trata de geografia, mas sim de programação.
    cleverton.me

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