Calculando distâncias e direções utilizando Coordenadas Geográficas


CARLOS EDUARDO FALCONI

INTRODUÇÃO

Antes de iniciar este estudo, é preciso relembrar os conceitos de DLA (diferença de latitude) e DLO (diferença de longitude).

A primeira – DLA – é a diferença angular entre duas latitudes, podendo ser de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre 90ºN e 90ºS.

A segunda – DLO – é a menor diferença angular entre duas longitudes, podendo ser, também, de no máximo 180 graus, pois é a diferença entre a longitude de um meridiano qualquer e seu anti-meridiano (oposto a ele em 180º).

Para se calcular a distância entre duas localidades apenas sabendo-se as coordenadas, precisaremos também lembrar como converter estes valores de DLA e DLO em distância.

Para se calcular a direção entre duas localidades será necessário relembrar conceitos de trigonometria, como veremos mais à frente.

TRANSFORMANDO UM VALOR DE DLA OU DLO EM DISTÂNCIA

Para transformar um valor angular em distância, basta relembrar suas equivalências.

Como se sabe, 1º = 60 NM, assim pode-se concluir que 60′ = 60 NM \ 1′ = 1 NM.

Ocorre que 1′ = 60″, assim pode-se concluir que 60″ = 1 NM, ou seja, 1″ = 1/60 NM.

Sabendo-se estas equivalências, fica fácil transformar qualquer valor de DLA ou DLO em distâncias. Observe o exemplo a seguir.

Vamos converter o valor 23º 30’ 36” em distância. Basta isolar cada valor e converter individualmente, somando os resultados.

23º  X 60 = 1.380

30’ X 1 = 30

36” ÷ 60 = 0,6

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

1.380 + 30 + 0,6  = 1.410,6 NM x 1,852 = 2.612,4 Km

Obviamente, este método vale para distâncias pequenas (menores do que 800 NM), pois o correto seria levar em conta a curvatura terrestre; no entanto, o método funciona muito bem, como veremos adiante.

CALCULANDO A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS

Pode ocorrer de, em determinado momento, o piloto ter as coordenadas entre dois pontos, mas não ter em mãos a carta ou algum equipamento para calcular a distância entre elas. Quando isto acontecer, basta utilizar o que já se conhece sobre coordenadas geográficas. Já foi visto que uma coordenada geográfica utiliza o sistema cartesiano para indicar localidades. Fazendo uma análise simples, qualquer coordenada pode ser representada em um sistema de eixos do tipo “x” e “y”.

Vamos pegar como exemplo as coordenadas geográficas das duas cabeceiras da pista de SBMT (Aeroporto Campo de Marte, São Paulo):

SBMT: PISTA 12 (23º 30’ 29,93” S/046º 38’ 32,90” W)

­SBMT: PISTA 30 (23º 30’ 36,50” S/046º 37’ 53,01” W)

mapa com coordenadas sbmt

Vamos agora calcular o comprimento da pista, utilizando as duas coordenadas.

Basta uma pequena análise para se perceber que o comprimento da pista é definido por uma linha que liga os dois pontos e que esta linha nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo definido pelas diferenças de latitude (DLA) e de longitude (DLO), que são os catetos entre estes pontos. Veja o esquema abaixo:

hipotenusa

Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Podemos considerar que um dos catetos é a DLA e o outro a DLO, sendo a hipotenusa o comprimento da pista (ou a distância entre os dois pontos). Assim, valerá sempre a fórmula:

COMPRIMENTO 2 = DLA 2 + DLO 2

Vamos, então, calcular as DLA e DLO:

DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57”

DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89”

Sabendo o valor das DLA e DLO, basta transformá-las em distância, dividindo-as por 60:

DLA = 6,57” ÷ 60 = 0,1095 NM x 1.852 = 202,8 metros

DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 = 1.231,2 metros

Colocando-se os valores na fórmula:

COMPRIMENTO 2 = 202,8 2 + 1.231,2 2 = raiz (41.127,84 + 1.515.853,44)

COMPRIMENTO = 1.247,8 metros

Para provar que o cálculo está correto, vamos utilizar a ferramenta régua do Google Earth:

regua google sbmt

CALCULANDO A DIREÇÃO ENTRE DOIS PONTOS GEOGRÁFICOS

Até o momento, utilizou-se apenas uma calculadora simples para os cálculos, necessitando-se somente do valor de uma raiz quadrada.

Veremos agora que, apesar de um pouco complexo, há a possibilidade de se efetuar o cálculo da direção entre dois pontos geográficos. Para isso, será necessário rever conceitos de básicos de trigonometria e da teoria dos triângulos.

Como o triângulo que vamos estudar é um triângulo retângulo, teremos o seguinte desenho:

distancia sbmt grafico

Pela teoria dos triângulos, a soma interna de todos os ângulos é sempre igual a 180º. Assim,

α + β + 90º = 180º

Basta, portanto, achar α para achar β ou vice-versa:

α  = 90º – β

β = 90º – α

Para calcular o valor dos ângulos, é necessário lembrar-se dos conceitos de trigonometria.

O valor de um ângulo em um triângulo retângulo pode ser assim calculado:

  • Tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre o adjacente
  • Seno de um ângulo é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa
  • Cosseno de um ângulo é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa

Sabendo-se disso, tomando-se por base o ângulo α , podemos deduzir que:

tan α  = DLA ÷ DLO

sen α  = DLA ÷ distância

cos α  = DLO ÷ distância

Uma vez que os valores de DLA e DLO são mais facilmente encontrados, vamos, então, aplicar estes valores utilizando a fórmula da tangente de α :

tang α  = 202,8 ÷ 1.231,3 = 0,1647

Sabendo-se o valor da tangente, basta calcular a tangente inversa, ou seja, o arco-tangente deste ângulo. O resultado desta operação, que deverá ser feita utilizando-se uma calculadora com esta função ou o Excel – como veremos a seguir – pode ser assim representado:

arctan α  = tan-1 α

Esta operação dá o valor em radianos, os quais devem ser convertidos em graus.

Uma calculadora mais avançada faz este cálculo rapidamente, bastando clicar na função “inverso” e depois na função “graus/radianos”.

No Excel basta colocar a seguinte fórmula:

=graus(atan(tanα))

=graus(atan(DLA/DLO))

Aplicando esta fórmula no Excel, temos:

α = graus(atan(0,1647)), o resultado será 9,352651º, ou seja, arredondando-se para números inteiros, será 9º.

Se α = 9º, β = 90º – α \ β = 90º – 9º = 81º, ou seja:

α = 9º

β = 81º

É importante ressaltar que estes valores são da parte interna do triângulo, que ficará assim:

triangulo sbmt distancia

Portanto, os valores dos Rumos Verdadeiros (RV) das pistas 12 e 30 serão, respectivamente:

RV PISTA 12 = 180º – 81º = 99º

RV PISTA 30 = 270º + 9º = 279º

Como a declinação magnética do SBMT é 21ºW, os Rumos Magnéticos serão, respectivamente:

RM PISTA 12 = 99º + 21º = 120º

RM PISTA 30 = 279º + 21º = 300º

Isto prova que os cálculos estão corretos, pois senão as pistas não seriam 12 e 30.



Comentários Para "Calculando distâncias e direções utilizando Coordenadas Geográficas"

  • Josemar disse: outubro 07, 2009 às 11:27 pm
    Prezado, Os cálculos seguintes estão corretos? DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57” DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89” Josemar Responder
    • Administrador disse: outubro 08, 2009 às 09:14 am
      Sim, estão corretos, há alguma dúvida? Se for o caso remeteremos ao autor do artigo. Obrigado Responder
  • Josemar disse: outubro 08, 2009 às 11:09 pm
    Desculpe-me, os cálculos estão corretos, não existe dúvidas; eu havia me equivocado(não fiz as conversões adequadas. Josemar Responder
  • Edicéia Nunes disse: outubro 25, 2009 às 05:05 pm
    Achei simples e estes cálculos estão facilitando minha vida.Obrigada. Responder
  • hugo gualberto ferreira disse: julho 17, 2010 às 06:13 pm
    achei simples e muito facil de enteder obbrigado.jacarei sp Responder
  • Bruno Diniz disse: setembro 20, 2010 às 11:02 am
    Srs. Gostaria de saber se existe um sistema que referencia ao endereço dado do logradouro, uma coordenada geográfica se possível em DLL. Sem ser o Google earth é claro, já procurei no site do IBGE e nada. Att Responder
  • Luiz Forte disse: fevereiro 07, 2011 às 06:14 pm
    Fui seu aluno falconi na anhembi! Você manda muito bem! abraços Luiz Forte. Responder
  • Cleodir disse: março 02, 2011 às 10:46 am
    esse aula foi show, vc coloca os problemas como devem ser resolvidos, não aqueles amontoados de X,Y,Z,K, que na maioria das veses so atrapalham, não que estejam errados, mas se facilitar como vc faz, é muito mais simples, um abraço. Responder
  • André disse: abril 05, 2011 às 11:53 am
    Eduardo, Gostaria de saber se existe uma formula para calcular a declinação magnética a partir de variaveis atuais, em um ponto de coordenada informado. Conhece? Grato Responder
  • LÚCIO disse: abril 26, 2011 às 12:37 pm
    Professor Falconi, os rumos verdadeiros não seriam definidos adequadamente de azimutes verdadeiros? E os rumos calculados 81° SE e 9° NW? Muito obrigado. Responder
  • Cmte. HMartins disse: junho 20, 2011 às 04:27 pm
    Tentei fazer os cálculos de distância com as duas cabeceiras do Galeão. Está dando um erro muito grande. A pista tem 4.000 metros a conta da quase 4300m. A diferença é muito grande. THR 10: 22 48 06.78S // 43 15 18.80W THR 28: 22 47 31.82S // 43 13 03.56W DLA: 34.96'' __ 0,5826nm __ 1,0789Km (Km2)= 1,0640 RAIZ: 4,2999Km DLO: 2' 15.24'' 2,254nm 4,1744Km (Km2)= 17,4256 Responder
  • Fernando Muniz disse: junho 21, 2011 às 06:51 pm
    tem transformar azimute em coordenadas Responder
  • Cmte. HMartins disse: junho 22, 2011 às 04:07 pm
    Tansformar Azimute em coordenadas? Mas foi feito. Deve estar confuso por conta dos espaços.. THR 10: 22 48 06.78S // 43 15 18.80W THR 28: 22 47 31.82S // 43 13 03.56W DLA: 34.96” DLO: 2′ 15.24” Transformando em NM 0,5826nm 2,254nm Transformando em KM 1,0789Km 4,1744Km Elevando ao Quadrado 1,0640 17,4256 RAIZ: 4,2999Km Fiz várias vezes, não consegui perceber onde estou errando. Responder
  • Mario disse: julho 23, 2011 às 10:05 am
    O que significa o fator multiplicador 1.852? Responder
  • Douglas disse: julho 27, 2011 às 02:12 pm
    Só faltou explicar o que seria NM (no caso, milhas náuticas) Esse fator 1.852 é para converter milhas náuticas em metros. (1NM = 1852 m) Responder
  • Agno disse: agosto 25, 2011 às 08:58 pm
    Nao seria a declinação magnética que estaria desfadada? Segundo a notícia do terra, os polo Norte magnético estaria se movendo á 60km/ano. http://noticias.terra.com.br/ciencia/noticias/0,,OI4185432-EI8147,00-Cientistas+detectam+movimentacao+do+polo+norte+magnetico.html Responder
  • Marco Antônio Teixeira Pinto disse: setembro 29, 2011 às 08:08 pm
    Sr.Carlos Eduardo Falconi, desculpe-me pela minha ignorância, mas não consegui fazer indo do ponto B para A, qual seria a distância? a mesma de A para B?, e o rumo seria outro? Ou seja, a distância do ponto A para B, será a mesma da volta de B para A? e o rumo de A para B, será o mesmo da volta de B para A? Muitíssimo obrigado Parabéns por sua explicação. Responder
  • Sergio Seleghim disse: novembro 09, 2011 às 08:57 am
    Bom Dia Srs. A duvida que tive quando li a matéria é a seguinte, as coordenadas obtidas pelo Google estão referenciadas no elipsóide WGS 84, e os cálculos usados para obter ângulos e distancias entre pontos situados na superfície tratam estes pontos como se estivessem num plano. Entendo que para pontos próximos, entre as cabeceira de uma pista por exemplo, as diferenças entre o cálculos considerando coordenadas planas as coordenadas do elipsóide não são significativas, porem entre 2 cidades com uma distancia maior estas diferenças devem ser consideradas. Ao meu ver deve-se transformar as coordenadas do elipsóide WGS 84 para coordenadas planas, UTM, ai sim a trigonometria pode ser aplicada sem maiores problemas. Sou apenas um entusiasta da aviação, atualmente fazendo uma planilha para vôos visuais, onde coloco as coordenadas das cidades próximas a minha rota e a planilha monta meu plano de vôo, informando a tempo e a distancia entre os fixos. Gostaria de sabe se meu raciocínio esta correto, obrigado Responder
  • Max disse: novembro 25, 2011 às 04:53 pm
    Boa tarde. Tenho uma pequena dúvida referente ao calculo do DLA e DLO DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57” DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89” qual o tipo exato de conversão que deve ser feito para ter o resultado 6,57 e 39,89, pois efetuei vários, inclusive aquele citado mais acima e os resultados não batem. ahh, o 36,50 seria os segundos,né? Se puderem me esclarecer melhor, agradeço. Obrigado. Responder
  • Rodrigo disse: dezembro 05, 2011 às 04:31 pm
    Se serve de dica, eu faço tudo direto como nros decimais, que fica mais simples de entender. Responder
  • ANTÔNIO JOSÈ MILANI disse: dezembro 24, 2011 às 05:03 pm
    PROFESSOR FALCONI: SÃO MUITO CLARAS AS SUAS EXPLICAÇÕES, E EU AS ENTEDI FÁCILMENTE, COM RESALVA A DOIS PONTOS, GOSTARIA DE SABER SE O FATOR 1.852, USADO NOS CALCULOS ACIMA, É O RADIANO EM MINUTOS DA DIFERENÇA DA DLA E DA DLO, POIS CONFORME MOSTRA O EXEMPLO INICIAL, O SENHOR AO MULTIPLICAR 23 GRAUS POR 60 ESTA TRANSFORMANDO EM MINUTOS, 30 MINUTOS SÃO MULTIPLICADOS POR 1, E OS SEGUNDOS NO CASO 36 SÃO DIVIDIDOS POR 60 E AI TEMOS A FRAÇÃO DE MINUTOS CORRESPONDENTE AOS 36 SEGUNDOS. PARABÉNS PELOS ESCLARECIMENTOS E O MEU RESPEITOSO ABRAÇO. MOCOCA SP. 24/12/2011. ANTÔNIO JOSÉ MILANI. Responder
  • Dr. Daniel disse: fevereiro 15, 2012 às 12:30 pm
    Boa tarde. O melhor post deste site. Muito esclarecedor e de fácil entendimento. Parabéns Att Daniel Neves Santos Coord. Medico Resgate Rod. Fernão Dias Responder
  • Isaque Ferraz disse: fevereiro 18, 2012 às 10:50 am
    Senhores, bom dia a todos, gostaria de saber o seguinte, tenho uma calculadora hp50g e gostaria de saber se algum de vocês faz uso da mesma? Pois gostaria de fazer esses calculo com minha hp. Desde ja obrigado Responder
  • JOÃO GUSTAVO DE LIMA TEIXEIRA disse: maio 25, 2012 às 01:54 pm
    Olá gostaria de esclarecer uma dúvida respeito de uma longitude média Qual o longitude média entre os pontos A(171°15'15''E) e B (129°15'15''W)? A) 029°35'35''E B) 159°00'00''E C) 058°30'30''W D) 021°00'00''E Responder
  • rodrigo pawlowski disse: junho 27, 2012 às 05:58 pm
    Meu irmão boa tarde...preciso bstnte da tua ajuda...tentei aplicar essa técnica na apostila do titus...nos exercícios práticos...1 deu certo...o resto não da...favor me add: rodrigoportocamargo@hotmail.com Responder
  • Melzinha disse: agosto 11, 2012 às 04:54 pm
    Muito boa sua explicação, Mas meu problema é outro. Espero que possa me ajuda! Preciso de um banco de dados, tenho os pontos x e y em coord.UTM, porem preciso que todo banco de dados va 18graus leste. Voce tem ideia de como posso fazer isso? Grata, Responder
  • Natal Cavalcante disse: setembro 06, 2012 às 11:40 am
    Sou arraes-amador e pretendo iniciar o curso de mestre-amador. Como os conhecimentos de navegação aplica-se tanto na atividade áerea com na marítima, gostaria de saber se este fórum ainda está ativo. Se positivo, como posso participar ? Responder
  • Rodrigo Coutinho disse: outubro 10, 2012 às 10:34 am
    Professor obrigado.. fiz um projeto em android para uma transportadora onde eu era obrigado a calcular a distancia do caminhão para a empresa, com a finalidade de permitir ou não a sincronização dos dados do sistema de reta guarda para o tablet.. Responder
  • KOJAK SANTOS LIMA disse: outubro 17, 2012 às 04:31 pm
    OLÁ FALCONI, PRÁ FICAR (100%) NO RESULTADO DOS SEUS CALCULOS, DEVE ACRESCENTAR A CONVERGENCIA MERIDIANA NO AZIMUTE VERDADEIRO DO SEU CALCULO, TRANSFORMANDO O AZIMUTE VERDADEIRO, DO SEU EXEMPLO, PARA AZIMUTE PLANO TOPOGRÁFICO DE QUADRÍCULA. ESPERO TER CONTRIBUIDO MUITO COM APREDIZAGEM DESTE CÁLCULO PARA TODOS. CORDIALMENTE, KOJAK- Treinamentos Topoinformatizados Ltda. CEL: 9873-3442 / NEXTEL: 124*27445 RIO DE JANEIRO - RJ Responder
  • Marlon Tiedt disse: março 07, 2013 às 11:53 pm
    Como eu faria se tive-se a coordenada X e Y, a partir da coordenada X quero ir para coordenada Y, pegando por padrão hipotenusa / 10... Valeu Responder
  • Leo disse: abril 20, 2013 às 10:11 pm
    A distancia do aeroporto esta errado, verifique Responder
  • Marcelo disse: maio 21, 2013 às 11:21 am
    Como a variação da latitude é de +90° à -90° cada minuto de latitude não corresponderia a 2 milhas náuticas? (diferentemente de um minuto de longitude, que corresponde a 1 milha náutica). Responder
  • Marcos Pineschi Teixeira disse: agosto 07, 2013 às 09:41 am
    Há um problema nos cálculos. Ocorre que, no que se refere à latitude, realmente 1' corresponde, em termos de distância, a 1 milha náutica (ou seja, o cálculo da DLA está correto). Entretanto, em termos de distância longitudinal, 1' corresponde a 1 milha náutica apenas no equador. Exatamente nos polos geográficos, a distância referente a 1' de variação de longitude é zero (afinal, todos os meridianos se encontram nos polos). Entre o equador e os polos geográficos, 1' de variação de longitude apresentará uma distância entre 1 milha náutica e zero (no hemisfério sul, quanto mais ao sul, menor será esse valor). Esse aspecto não foi considerado no cálculo da DLO. Responder
  • Carlos Augusto disse: agosto 28, 2013 às 03:23 pm
    Minha dúvida é a seguinte: Comecei a tirar o Brevet, e assim sendo começamos a mexer com navegação aérea, e quando abro o Google Earth, e visualizo uma pista (ex. Congonhas cabeceiras 17 e 35, se vc observar, verá que tem defasagem em +ou- 20 graus em relação ao Norte do Google Earth. Porquê??? Peguei um transferidor, e coloco sobre a tela, e confirmo que a defasagem existe. Poderia me ajudar nesta dúvida?? Obrigado Responder
  • Jorge Fernando Freiberger disse: novembro 07, 2013 às 04:48 pm
    O Marcos Pineschi tem razão quanto ao erro da distância na longitude. Mas eu encontrei a solução: É só pegar a latitude do ponto onde verificou a diferença de longitude, tirar o cosseno dessa latitude, nesse caso, cosseno de 23,5101 graus (conversão só para graus de 23°30'36.5"). Após tirar o cosseno desse angulo, vc multiplica por 1852. Pronto, esse é o novo valor que vc vai utilizar no lugar do 1852mts mostrados no exemplo do cálculo da distância da longitude somente. Em casos como esse de distância menor que 1 grau, pode pegar apenas o valor médio de latitude, nesse caso 23° e tirar o cosseno. Corrigindo a linha: do texto: DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 x cos(23,5101). = 1.129,0 metros. Nesse caso a diferença foi pequena pois a latitude é baixa e o cosseno dá quase 1. Abç Responder
  • Esdras disse: dezembro 10, 2013 às 04:26 pm
    Boa tarde! Referente ao Cálculo DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89”, refiz o cálculo e meu resultado deu 79,89 e não 39,89, gostaria se possível de saber o resultado correto. Obrigado Esdras Responder
  • Valdez disse: abril 19, 2014 às 11:58 am
    Caros, Peço ajuda para o cálculo das seguintes coordenadas entre dois pontos: S: 22º 69' 01" E: 35º 19' 40" Responder

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